จำนวนเชิงซ้อน (อังกฤษ : complex number) ในทางคณิตศาสตร์ คือ เซตที่ต่อเติมจากเซตของจำนวนจริงโดยเพิ่มจำนวน
ซึ่งทำให้สมการ
เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่นๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติการปิดภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน
ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป
โดยที่
และ
เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก
และ
ว่าส่วนจริง (real part) และส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ
ตามลำดับ









เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์
จากนิยามข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบวก ลบ คูณ และหารสมาชิกสองตัวใดๆ ของเซตของจำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารคือศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์เราจึงกล่าวว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของจำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติการปิดทางพีชคณิต (algebraically closed) กล่าวคือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีราก (พหุนาม)เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต

นอกจากนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า "เชิงซ้อน" ถูกใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่มีความหมายว่าฟีลด์ของตัวเลขที่เราสนใจคือฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน, พหุนามเชิงซ้อน, แมทริกซ์เชิงซ้อน, และพีชคณิตลีเชิงซ้อน เป็นต้น
ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน
ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน
ประกอบด้วยเซตของคู่ลำดับ
ทั้งหมดโดยที่
และ
เป็นจำนวนจริง และปฏิบัติการสองตัวคือ
(การบวก) และ
(การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้






ให้
และ
เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ


เมื่อการบวก การลบ และการคูณภายในคู่ลำดับคือการบวก การลบ และการคูณจำนวนจริง
เซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการทั้งสองมีสมบัติเป็นฟีลด์ กล่าวคือ
- การบวกและการคูณมีสมบัติการปิด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง
- มีเอกลักษณ์การบวกคือ
- มีเอกลักษณ์การคูณคือ
- อินเวอร์สการบวกของ
(เขียนแทนด้วย
) คือ (-a,-b)
- ถ้าหาก
อินเวอร์สการคูณของ
(เขียนแทนด้วย
) คือ
จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติม
อนึ่ง เราอาจมองเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบนเซตของจำนวนจริง เราสามารถใช้การบวกจำนวนเชิงซ้อนแทนการบวกเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์สามารถนิยามได้ดังต่อไปนี้
เมื่อ
เป็นจำนวนจริงและ
เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ
ด้วยเหตุนี้เราได้ว่าฐานหลักหนึ่งของเซตของจำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยเวกเตอร์
และ
กล่าวคือเราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวในรูปของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ทั้งสอง:


ตามความนิยม เรามักแปลความหมายของ
ว่าเป็นจำนวนจริง
(ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน) และมักใช้สัญลักษณ์
แทน
จำนวนเชิงซ้อน
จึงเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า
ซึ่งเป็นที่นิยมใช้มากกว่าแบบคู่ลำดับ






จากนิยามการคูณจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น เราได้ว่า
นั่นคือ
เป็นคำตอบของสมการ
ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นฟีลด์ต่อเติม (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่มรากของพหุนาม
อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือริงผลหาร (quotient ring) ของริงพหุนาม
กับไอดีล
เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่า




![\mathbb{R}[x]](http://upload.wikimedia.org/math/d/3/0/d30c4d8a82d45c0e3a53461a45ca72b5.png)

ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ
ถ้าเราเรียก
ว่า ส่วนจริง ของ
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
และเราเรียก
ว่า ส่วนจินตภาพ ของ
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
เราเรียกจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็น 0 และส่วนจินตภาพไม่เป็น 0 ว่าจำนวนจินตภาพ (imaginary number)
สังยุคเชิงซ้อน[แก้]
ถ้าเป็นจำนวนเชิงซ้อน สังยุคของ
คือ
เราเขียนแทนสังยุคของ
ด้วย
สังยุคของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญๆ ดังต่อไปนี้
เมื่อ,
,
เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ
ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน
ขนาดของจำนวนเชิงซ้อนเขียนแทนด้วย
คือจำนวนจริงบวก
เราอาจแปลความหมายของขนาดของจำนวนเชิงซ้อนได้ว่าเป็นความยาวของเส้นตรงที่ลากจากจุด (0,0) ไปยังจุด (a,b) บนระนาบคาร์ทีเชียน ขนาดของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญๆ ดังต่อไปนี้
(อสมการสามเหลี่ยม)
ก็ต่อเมื่อ
เมื่อ,
, และ
เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ จากสมบัติข้อที่สองและการแทนจำนวนจริง
ด้วยจำนวนเชิงซ้อน
ทำให้เราได้ว่าถ้า
ระนาบเชิงซ้อน
เรายังสามารถมองจำนวนเชิงซ้อนเป็นจุดหรือเวกเตอร์บนระนาบคาร์ทีเซียนสองมิติ และมักจะเรียกระนาบนี้ว่าระนาบเชิงซ้อน (complex plane) หรือผังของอาร์กานด์ ตามชื่อของ ชอง-โรแบร์ต อาร์กานด์ ผู้ค้นพบพิกัดคาร์ทีเซียนของจำนวนเชิงซ้อนคือ
ในขณะที่พิกัดเชิงขั้วคิอ
เมื่อ
และ
เป็นมุมที่เวกเตอร์
ทำกับแกน
ในหน่วยเรเดียน เราเรียก
ว่า อาร์กิวเมนต์ของ
และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
สังเกตว่าจำนวนเชิงซ้อนที่มีอาร์กิวเมนต์ต่างกันเท่ากับผลคูณของจำนวนเต็มกับ
จะมีค่าเท่ากัน
สูตรของออยเลอร์ช่วยแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้ว อีกทั้งยังช่วยให้เราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังต่อไปนี้และเรายังสามารถพิสูจน์ได้ว่าและเมื่อด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถมองการคูณจำนวนเชิงซ้อนตัวหนึ่งๆ ว่าเป็นการหมุนและการยืด (หรือหด) เวกเตอร์ด้วยอาร์กิวเมนต์และขนาดของจำนวนเชิงซ้อนตัวนั้นตามลำดับ
การคูณด้วยจึงสมมูลกับการหมุนเวกเตอร์ 90 องศาทวนเข็มนาฬิกา สมการ ฉะนั้นเราสามารถเข้าใจความหมายของสมการ
ได้อีกนัยหนึ่งว่า "การหมุน 90 องศาสองครั้งมีค่าเท่ากับการหมุน 180 องศา" หรือ "เมื่อหมุนเวกเตอร์
ไป 90 องศา ผลลัพธ์ที่ได้คือเวกเตอร์ (-1,0)"
การเรียงลำดับ
ไม่เป็นฟีลด์อันดับ กล่าวคือเราไม่สามารถเรียงลำดับจำนวนเชิงซ้อนโดยที่การเรียงลำดับนั้นสอดคล้องกับการบวกและการคูณจำนวนเชิงซ้อนได้เลย
ปริภูมิเวกเตอร์
อย่างที่ได้กล่าวไว้ข้างต้นเป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบน
เราได้ว่าการแปลงเชิงเส้นบน
(
-linear map) ทุกตัวจะสามารถเขียนได้ในรูป
เมื่อและ
เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ เราได้ว่าฟังก์ชัน
เป็นการหมุนและการยืดเวกเตอร์ ส่วนฟังก์ชัน
นั้นประกอบด้วยการหมุน การพลิก และการยืดเวกเตอร์ในฟังก์ชันเดียว สังเกตว่า
เท่านั้นที่เป็นการแปลงเชิงเส้นบน
และเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก เราสามารถหาอนุพันธ์ของ
ได้ในเซตของจำนวนจริง แต่อนุพันธ์นั้นไม่สอดคล้องกับสมการโคชี-รีมันน์
สมบัติเชิงพีชคณิต
- มีแคแรกเทอริสติก 0
- มีดีกรีอดิศัยเมื่อเทียบกับฟีลด์เฉพาะใดๆ เท่ากับขนาดของเซตจำนวนจริง
- มีสมบัติการปิดเชิงพีชคณิต (ดู ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต)
ด้วยเหตุนี้จึงมีฟีลด์ย่อยแท้ที่สมสัณฐานกับตัวมันเองอยู่เป็นจำนวนมาก นอกจากนี้กาลอยด์กรุปของ
บนเชตของจำนวนตรรกยะมีขนาดเท่ากับเซตกำลังของเซตของจำนวนจริง
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น