หน้าเว็บ

วันพุธที่ 28 สิงหาคม พ.ศ. 2556

Logarithm


ลอการิทึม (อังกฤษ: logarithm) เป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่เป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ค่าลอการิทึมของจำนวนหนึ่งโดยกำหนดฐานไว้ให้ จะมีค่าเทียบเท่ากับ การเอาฐานมายกกำลังค่าลอการิทึม ซึ่งจะให้คำตอบเป็นจำนวนนั้น ตัวอย่างเช่น
  • ลอการิทึมของ 1000 ในฐาน 10 มีค่าเป็น 3 เพราะว่า 10 คูณกัน 3 ตัวแล้วได้ 1000 นั่นคือ 10 × 10 × 10 = 1000
  • ลอการิทึมของ 32 ในฐาน 2 มีค่าเป็น 5 เพราะว่า 2 คูณกัน 5 ตัวแล้วได้ 32 นั่นคือ 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
ถ้าเขียนด้วยสัญลักษณ์ยกกำลังจะได้ว่า
  • 103 = 1000 ดังนั้น log10 1000 = 3
  • 25 = 32 ดังนั้น log2 32 = 5
ลอการิทึมของ x ในฐาน b เขียนแทนด้วย logb x หรือถ้าฐานมีค่าใด ๆ เป็นปริยาย จะเขียนเพียงแค่ log x (ไม่จำเป็นต้องใส่วงเล็บรอบ x) ดังนั้นสำหรับจำนวน x ฐาน b และเลขชี้กำลัง y ที่สามารถเป็นไปได้
x = b^y \,\Rarr\, y = \log_b x\!
คุณลักษณะหนึ่งที่สำคัญของลอการิทึมคือการลดทอนการคูณไปเป็นการบวกดังนี้
\log xy = \log x + \log y\!
หมายความว่า ลอการิทึมของผลคูณของสองจำนวน จะเท่ากับผลรวมของลอการิทึมของแต่ละจำนวน การใช้ลอการิทึมเพื่อลดทอนการคำนวณที่ซับซ้อนเป็นหนึ่งในแรงผลักดันอย่างมีนัยสำคัญในการพัฒนาที่มีมาแต่เดิม มีการใช้งานลอการิทึมอย่างกว้างขวางทั้งในงานสถิติศาสตร์ เคมี ฟิสิกส์ ดาราศาสตร์ วิทยาการคอมพิวเตอร์ เศรษฐศาสตร์ ดนตรี และวิศวกรรมศาสตร์

สมบัติ

เมื่อ x และ b ถูกกำหนดให้เป็นจำนวนจริงบวก logb x จะให้ผลเป็นจำนวนจริงเพียงหนึ่งเดียว ขนาดหรือค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนของฐาน b จะต้องไม่เป็น 0 หรือ 1 แต่โดยทั่วไปฐานของลอการิทึมจะเป็น 10, e หรือ 2 มีการนิยามลอการิทึมสำหรับทั้งจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนด้วย [1][2]
สมบัติหลักของลอการิทึมคือการลดทอนการคูณไปเป็นการบวก ซึ่งพัฒนาจากเอกลักษณ์ของการยกกำลัง
b^x \times b^y = b^{x+y}\!
เมื่อใส่ลอการิทึมเข้าไปจะได้ว่า
\log_b \left( b^x \times b^y \right) = \log_b b^{x+y} = x + y = \log_b b^x + \log_b b^y\!
ตัวอย่างเช่น
4 = 2^2 \,\Rarr\, \log_2 4 = 2\!
8 = 2^3 \,\Rarr\, \log_2 8 = 3\!
\log_2 32 = \log_2 (4 \times 8) = \log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5\!
สมบัติที่เกี่ยวข้องคือการลดรูปยกกำลังไปเป็นการคูณ โดยใช้เอกลักษณ์นี้
c = b^{\log_b c}
ซึ่งเมื่อนำ c ไปยกกำลัง p จะได้ว่า
c^p = \left( b^{\log_b c} \right)^p = b^{p \log_b c}
กล่าวโดยนัยได้ว่า การหาค่าจำนวนหนึ่งที่ยกกำลัง p ก่อนอื่นให้หาค่าลอการิทึมฐาน b ของจำนวนนั้นแล้วคูณด้วย p แล้วใส่ผลคูณเป็นเลขชี้กำลังกลับไปยังฐาน b นั่นคือ จำนวนที่ยกกำลัง = b (ผลคูณ)
หรือใส่ลอการิทึมเข้าไปจะได้ว่า
\log_b c^p = p \log_b c\!
ตัวอย่างเช่น
\log_2 64 = \log_2 4^3 = 3 \log_2 4 = 6\!
นอกจากการลดรูปการคูณเป็นการบวก และการยกกำลังเป็นการคูณแล้ว ลอการิทึมยังสามารถลดรูปการหารเป็นการลบ และรากเป็นการหาร เช่น
\log_2 16 = \log_2 \tfrac{64}{4} = \log_2 64 - \log_2 4 = 6 - 2 = 4
\log_2 \sqrt[3]4 = \tfrac{1}{3} \log_2 4 = \tfrac{2}{3}
ลอการิทึมทำการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อันยืดยาวให้คำนวณง่ายขึ้นโดยการแปลงเป็นการคูณหรือการบวก สำหรับการคำนวณด้วยมือโดยประมาณ สามารถทำได้โดยการเทียบค่าจากตารางลอการิทึม หรือใช้สไลด์รูล สำหรับลอการิทึมสามัญ มีสมบัติหนึ่งที่ปรากฏในการใช้ตารางที่ว่า ลำดับตัวเลขใด ๆ ที่มีค่าเดียวกัน แต่มีค่าประจำหลักต่างกัน จะยังคงให้ แมนทิสซา (mantissa) ค่าเดียวกัน และต่างกันเพียงแค่ แคแรกเทอริสติก (characteristic)

ฟังก์ชันลอการิทึม

ถึงแม้ว่าลอการิทึมเป็นแนวคิดดั้งเดิมของลำดับเลขคณิตของจำนวน ที่สอดคล้องกับลำดับเรขาคณิตของจำนวนอื่น (จำนวนจริงบวก) ดังเช่นที่ให้ความหมายไว้ในสารานุกรมบริตานิกา ค.ศ. 1797 ลอการิทึมยังเป็นผลลัพธ์จากการใช้ฟังก์ชันวิเคราะห์ ฟังก์ชันนั้นสามารถมีความหมายที่ขยายออกไปบนจำนวนเชิงซ้อนได้
ค่าของฟังก์ชัน logb x ขึ้นอยู่กับ b และ x ทั้งสองตัว แต่สำหรับฟังก์ชันลอการิทึมในการใช้งานตามปกติคือฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ logb (x) โดยที่ฐานb เป็นค่าเดียวคงที่ (ซึ่งต้องเป็นจำนวนบวกและไม่เท่ากับ 1) และมี x เป็นอาร์กิวเมนต์เท่านั้น ด้วยเหตุนี้จึงทำให้ฟังก์ชันลอการิทึมของแต่ละค่าบนฐาน b ให้ผลลัพธ์เพียงค่าเดียว ด้วยมุมมองนี้จึงทำให้ฟังก์ชันลอการิทึมฐาน b เป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง bx บ่อยครั้งที่คำว่า "ลอการิทึม" หมายถึงฟังก์ชันลอการิทึมโดยตัวมันเองหรือหมายถึงค่าที่ออกมาจากฟังก์ชัน

ลอการิทึมของจำนวนลบหรือจำนวนเชิงซ้อน

มีเพียงจำนวนจริงบวกเท่านั้นที่ให้ผลลัพธ์ของลอการิทึมเป็นจำนวนจริง ฟังก์ชันลอการิทึมสามารถขยายไปได้บนจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งครอบคลุมจำนวนลบด้วย และให้ผลเป็นจำนวนเชิงซ้อน แต่ค่าของมันอาจมีมากกว่าหนึ่ง ตัวอย่างเช่น e2πi = e0 = 1 ซึ่งจะทำให้ลอการิทึมฐาน e ของ 1 มีผลลัพธ์เป็นทั้ง 2πi และ 0
เมื่อ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนจำนวนหนึ่งซึ่งเขียนได้ในรูปแบบ x + iy โดยที่ x และ y เป็นจำนวนจริง ลอการิทึมของ z สามารถหาได้จากการแปลงเป็นรูปแบบเชิงขั้ว นั่นคือ
z = r \mathrm{e}^{i \theta} = r (\cos \theta + i \sin \theta)\!
โดยที่ r และ θ มาจาก
r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}
\theta = \arg (z)\! คือมุมใดก็ได้ที่ทำให้ x = r cos θ และ y = r sin θ ซึ่งอาจมีมากกว่าหนึ่งค่า
ถ้าฐานของลอการิทึมถูกเลือกเป็นค่า e นั่นคือใช้ loge หรือ ln อันหมายถึงลอการิทึมธรรมชาติ ดังนั้นลอการิทึมเชิงซ้อนของ z คำนวณได้ดังนี้
\log (z) = \ln |z| + i \arg (z) = \ln r + i (\theta + 2 \pi k)\!
แต่เนื่องจาก arg เป็นฟังก์ชันที่มีผลลัพธ์หลายค่า ดังนั้นจึงมีการนิยามฟังก์ชันใหม่ของลอการิทึมคือ Log (ขึ้นต้นอักษรตัวใหญ่) ซึ่งจะให้ค่าเพียงค่าเดียวดังนี้
\operatorname{Log} (z) = \ln |z| + i \operatorname{Arg} (z) = \ln r + i \varphi\!
โดยที่ φ จะให้ค่าเพียงค่าเดียวในช่วง (−π, π] ซึ่งมีความหมายเหมือนกับ φ ≡ θ (mod 2π) และ Arg คือฟังก์ชันที่ให้ค่ามุมเพียงค่าเดียวในช่วงดังกล่าว ซึ่งเป็นการนิยามเพิ่มเติมจากฟังก์ชัน arg ฟังก์ชัน Arg นี้เมื่อใช้กับจำนวนจริงจะคืนค่าเป็น 0 ออกมา ซึ่งส่งผลให้พจน์ที่เป็นจำนวนจินตภาพถูกตัดทิ้งไป เหลือแต่ลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนจริงเท่านั้น
ลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนจริงลบ r หาได้จากสูตร
\operatorname{Log} (r) = \ln |r| + i \pi\!
สำหรับลอการิทึมฐานอื่นที่ไม่ใช่ e ลอการิทึมเชิงซ้อน logb (z) สามารถนิยามได้จาก ln (z) / ln (b) ซึ่งแต่ละพจน์ได้นิยามวิธีการคำนวณไว้แล้ว
ในกรณีที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน log zp อาจมีค่าไม่เท่ากับ p log z เสมอไป

ทฤษฎีสรุป

จากมุมมองขั้นต้นทางคณิตศาสตร์ เอกลักษณ์นี้
\log cd = \log c + \log d\!
เป็นพื้นฐานของสองเรื่อง ประการแรกคือสมบัติเชิงเลขคณิตทั้งสามอาทิ สมบัติการสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม การแจกแจง จะยังคงมีอยู่ ประการที่สองคือเอกลักษณ์นี้แสดงให้เห็นสมสัณฐาน(isomorphism) ระหว่างกรุปการคูณของจำนวนจริงบวกกับกรุปการบวกของจำนวนจริงทั้งหมด ฟังก์ชันลอการิทึมเท่านั้นที่เป็นสมสัณฐานอย่างต่อเนื่องระหว่างกรุปดังกล่าว

สัญกรณ์ของฐานและฐานโดยนัย

บ่อยครั้งที่ฐานไม่ได้ระบุไว้อย่างชัดเจนในสัญกรณ์ log (x) ซึ่งในแต่ละสาขาวิชาก็มีธรรมเนียมการใช้ต่างกัน เราสามารถเข้าใจได้โดยนัยในสาขาวิชาหรือภาวะแวดล้อมนั้น
  • นักคณิตศาสตร์กำหนดให้ log (x) หมายถึงลอการิทึมธรรมชาติ loge (x)
  • วิศวกร นักชีววิทยา และนักดาราศาสตร์กำหนดให้ log (x) หมายถึงลอการิทึมสามัญ log10 (x)
  • นักวิทยาการคอมพิวเตอร์กำหนดให้ log (x) หมายถึงลอการิทึมฐานสอง log2 (x)
  • บนเครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์ ปุ่ม "log" หมายถึง log10 (x) และปุ่ม "ln" หมายถึง loge (x)
  • ในภาษาโปรแกรมของคอมพิวเตอร์ที่ใช้งานอย่างแพร่หลาย [3] ฟังก์ชัน "log" จะคืนค่าเป็นลอการิทึมธรรมชาติ
มาตรฐานที่ต่างกันเกิดขึ้นจากสมบัติที่ต่างกันอันเป็นที่นิยมใช้ในสาขาวิชานั้น ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมธรรมชาติมีสมบัติหลายอย่างที่เป็น "ธรรมชาติ" (เช่นอนุพันธ์ของมันเท่ากับ 1/x เป็นต้น) ทำให้เป็นที่น่าสนใจของนักคณิตศาสตร์ ในขณะที่เราเขียนจำนวนต่าง ๆ เป็นเลขฐานสิบ การคิดเลขในใจจึงง่ายขึ้นด้วยลอการิทึมสามัญ และเป็นที่น่าสนใจของวิศวกร และสุดท้าย คอมพิวเตอร์เก็บข้อมูลในหน่วยพื้นฐานเป็นบิต เทียบได้กับเลขฐานสอง เราสามารถทราบว่าจำนวนเต็ม n ใช้เนื้อที่เก็บกี่บิตอย่างคร่าว ๆ โดยใช้ลอการิทึมฐานสอง log2 (n) นอกจากนั้นการค้นหาแบบทวิภาคในรายการที่มีขนาด nจะสามารถทำการค้นหาภายใน log2 (n) ขั้นตอน สมบัติเช่นนี้ปรากฏซ้ำ ๆ ในวิทยาการคอมพิวเตอร์และทำให้ลอการิทึมฐานสองเป็นที่นิยมในสาขานี้ เป็นต้น
บ่อยครั้งที่ประเทศในแถบยุโรปใช้สัญกรณ์นี้ blog (x) แทนที่จะเป็น logb (x) [4]

เขียนโดย ที่

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น

สมัครสมาชิก: ส่งความคิดเห็น (Atom)